津村研究室　

　本研究室は, 単に数学の研究推進にとどまらず, とくに将来, 中学・高校の教員を目指す学生さんの中でを目指す方を対象に, 数学力アップを目的とした数学教員の養成を視野に入れて, 研究室が運営されています. 学部４年間, がんばって数学の勉強に取り組んでも, その期間だけでそれらを十分に消化するのはなかなか難しいのが現実です. 引き続き, 修士課程(博士前期課程)の２年間で, ワンランク上の数学に取り組むことで, 少し高い立場から大学で学習した数学を見直すことができるようになります. このような学習経験を通して, 大学で学んだ数学をしっかりと消化し, 余裕を持って中学・高校の教員になると, 自分が担当する授業において非常に視野の広い, 深みのある教育を行なうことができます. 本研究室のテーマの整数論は, 代数, 解析, 幾何をほどよくブレンドしたような数学の一分野です. 整数論を学ぶことで, 『ワンランク上の中学・高校教員』を目指しませんか？

• いろいろなゼータ関数の研究
• 円分体の整数論

• いろいろなゼータ関数の研究
  　 整数論, とくに素数の分布の研究や類数の計算などに関して, 非常に重要な役割を果たす「ゼータ関数・Ｌ関数」と呼ばれる関数の解析的性質を考察するのがこの研究室の研究テーマのひとつです. その典型的な対象である Riemann のゼータ関数, Dirichlet のＬ関数は, オイラー積, 関数等式という重要な性質を保有していて, それらを通して, これらの関数をいろいろと調べることで, 素数の不思議な性質や, 整数論の研究で非常に重要な「代数体の類数」と呼ばれる不変量の計算が可能になります. さらにそれらを p進体という世界で考えることで, より深い理論が構築されます. これは p進ゼータ関数, p進Ｌ関数と呼ばれるもので, 現代の整数論で非常に興味深い対象として多くの研究者によって活発に研究されています. これらの魅力的な関数とその仲間達のいろいろな性質を調べることを通して, 整数論の魅力を探求するということを目的として研究を続けています.

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• 円分体の整数論
  　有理数体の有限次アーベル拡大体（いわゆるアーベル体）は, 有理数体に１のベキ根を添加した円分体とよばれるものの部分体になることが知られています(Kronecker-Weber の定理). 現代では, アーベル体を研究する道具がいろいろと用意されており, それらを駆使することで, 様々な興味深い性質を見つけることができます. 上記のゼータ関数・Ｌ関数を使って解析的に研究することと並んで, いわゆる群論, 環論, 体とガロア理論などの完成された代数学を使ってアーベル体の性質を調べることを目標として研究を続けています.

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　Introduction to cyclotomic fields (L. C. Washington) GTM-83, Springer.

　P-Adic Analysis (N. Koblitz) Cambridge University Press.

　A Course in Arithmetic (J. P. Serre) GTM-7, Springer.